{"id":4556,"date":"2020-04-15T13:40:26","date_gmt":"2020-04-15T11:40:26","guid":{"rendered":"http:\/\/www.laurentmarot.fr\/wordpress\/?p=4556"},"modified":"2020-04-15T13:41:40","modified_gmt":"2020-04-15T11:41:40","slug":"larme-est-deuler","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.laurentmarot.fr\/wordpress\/?p=4556","title":{"rendered":"L&rsquo;arme est d&rsquo;Euler"},"content":{"rendered":"<div id=\"bodyContent\">\n<div id=\"mw-content-text\" class=\"mw-content-ltr\" dir=\"ltr\" lang=\"fr\">\n<p>A ceux qui auraient tendance \u00e0 voir une r\u00e9f\u00e9rence \u00e0 autre choses (20 % d&rsquo;arm\u00e9e + 80 % d&rsquo;air, par exemple) : Passez votre chemin !<\/p>\n<p>En <a title=\"Math\u00e9matiques\" href=\"http:\/\/dictionnaire.sensagent.leparisien.fr\/Math\u00e9matiques\/fr-fr\/\">math\u00e9matiques<\/a>, l&rsquo;<b>indicatrice d&rsquo;Euler<\/b> est une fonction de la <a title=\"Th\u00e9orie des nombres\" href=\"http:\/\/dictionnaire.sensagent.leparisien.fr\/Th\u00e9orie des nombres\/fr-fr\/\">th\u00e9orie des nombres<\/a>.<\/p>\n<p>Elle intervient en <a title=\"Math\u00e9matiques pures\" href=\"http:\/\/dictionnaire.sensagent.leparisien.fr\/Math\u00e9matiques pures\/fr-fr\/\">math\u00e9matiques pures<\/a>, \u00e0 la fois en <a title=\"Th\u00e9orie des groupes\" href=\"http:\/\/dictionnaire.sensagent.leparisien.fr\/Th\u00e9orie des groupes\/fr-fr\/\">th\u00e9orie des groupes<\/a>, en <a title=\"Th\u00e9orie alg\u00e9brique des nombres\" href=\"http:\/\/dictionnaire.sensagent.leparisien.fr\/Th\u00e9orie alg\u00e9brique des nombres\/fr-fr\/\">th\u00e9orie alg\u00e9brique des nombres<\/a> et en <a title=\"Th\u00e9orie analytique des nombres\" href=\"http:\/\/dictionnaire.sensagent.leparisien.fr\/Th\u00e9orie analytique des nombres\/fr-fr\/\">th\u00e9orie analytique des nombres<\/a>.<\/p>\n<p>En <a title=\"Math\u00e9matiques appliqu\u00e9es\" href=\"http:\/\/dictionnaire.sensagent.leparisien.fr\/Math\u00e9matiques appliqu\u00e9es\/fr-fr\/\">math\u00e9matiques appliqu\u00e9es<\/a>, \u00e0 travers l&rsquo;<a title=\"Arithm\u00e9tique modulaire\" href=\"http:\/\/dictionnaire.sensagent.leparisien.fr\/Arithm\u00e9tique modulaire\/fr-fr\/\">arithm\u00e9tique modulaire<\/a>, elle joue un r\u00f4le important en <a title=\"Th\u00e9orie de l'information\" href=\"http:\/\/dictionnaire.sensagent.leparisien.fr\/Th\u00e9orie de l'information\/fr-fr\/\">th\u00e9orie de l&rsquo;information<\/a> et plus particuli\u00e8rement en <a title=\"Cryptologie\" href=\"http:\/\/dictionnaire.sensagent.leparisien.fr\/Cryptologie\/fr-fr\/\">cryptologie<\/a>.<\/p>\n<p>La fonction indicatrice est aussi appel\u00e9e <b>fonction phi d&rsquo;Euler<\/b> ou simplement la <b>fonction phi<\/b>, car la lettre <b><a class=\"mw-redirect\" title=\"\u03a6\" href=\"http:\/\/dictionnaire.sensagent.leparisien.fr\/\u03a6\/fr-fr\/\">\u03c6<\/a><\/b> est commun\u00e9ment utilis\u00e9e pour la d\u00e9signer.<\/p>\n<p>Elle est nomm\u00e9e en l&rsquo;honneur du <a title=\"Math\u00e9maticien\" href=\"http:\/\/dictionnaire.sensagent.leparisien.fr\/Math\u00e9maticien\/fr-fr\/\">math\u00e9maticien<\/a> <a title=\"Suisse\" href=\"http:\/\/dictionnaire.sensagent.leparisien.fr\/Suisse\/fr-fr\/\">suisse<\/a> <a title=\"Leonhard Euler\" href=\"http:\/\/dictionnaire.sensagent.leparisien.fr\/Leonhard Euler\/fr-fr\/\">Leonhard Euler<\/a> <small>(<a title=\"1707\" href=\"http:\/\/dictionnaire.sensagent.leparisien.fr\/1707\/fr-fr\/\">1707<\/a> &#8211; <a title=\"1783\" href=\"http:\/\/dictionnaire.sensagent.leparisien.fr\/1783\/fr-fr\/\">1783<\/a>)<\/small> qui fut le premier \u00e0 l&rsquo;\u00e9tudier.<\/p>\n<table id=\"toc\" class=\"toc\">\n<tbody>\n<tr>\n<td>\n<div id=\"toctitle\">\n<h2>Sommaire<\/h2>\n<\/div>\n<ul>\n<li class=\"toclevel-1 tocsection-1\"><a href=\"http:\/\/dictionnaire.sensagent.leparisien.fr\/Indicatrice%20d'Euler\/fr-fr\/#D.C3.A9finition_et_calcul_explicite\"><span class=\"tocnumber\">1<\/span> <span class=\"toctext\">D\u00e9finition et calcul explicite<\/span><\/a>\n<ul>\n<li class=\"toclevel-2 tocsection-2\"><a href=\"http:\/\/dictionnaire.sensagent.leparisien.fr\/Indicatrice%20d'Euler\/fr-fr\/#D.C3.A9finition_et_exemple\"><span class=\"tocnumber\">1.1<\/span> <span class=\"toctext\">D\u00e9finition et exemple<\/span><\/a><\/li>\n<li class=\"toclevel-2 tocsection-3\"><a href=\"http:\/\/dictionnaire.sensagent.leparisien.fr\/Indicatrice%20d'Euler\/fr-fr\/#Premi.C3.A8res_propri.C3.A9t.C3.A9s\"><span class=\"tocnumber\">1.2<\/span> <span class=\"toctext\">Premi\u00e8res propri\u00e9t\u00e9s<\/span><\/a><\/li>\n<li class=\"toclevel-2 tocsection-4\"><a href=\"http:\/\/dictionnaire.sensagent.leparisien.fr\/Indicatrice%20d'Euler\/fr-fr\/#Calcul\"><span class=\"tocnumber\">1.3<\/span> <span class=\"toctext\">Calcul<\/span><\/a><\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<li class=\"toclevel-1 tocsection-5\"><a href=\"http:\/\/dictionnaire.sensagent.leparisien.fr\/Indicatrice%20d'Euler\/fr-fr\/#Autres_propri.C3.A9t.C3.A9s\"><span class=\"tocnumber\">2<\/span> <span class=\"toctext\">Autres propri\u00e9t\u00e9s<\/span><\/a>\n<ul>\n<li class=\"toclevel-2 tocsection-6\"><a href=\"http:\/\/dictionnaire.sensagent.leparisien.fr\/Indicatrice%20d'Euler\/fr-fr\/#Arithm.C3.A9tique_modulaire\"><span class=\"tocnumber\">2.1<\/span> <span class=\"toctext\">Arithm\u00e9tique modulaire<\/span><\/a><\/li>\n<li class=\"toclevel-2 tocsection-7\"><a href=\"http:\/\/dictionnaire.sensagent.leparisien.fr\/Indicatrice%20d'Euler\/fr-fr\/#Th.C3.A9orie_analytique_des_nombres\"><span class=\"tocnumber\">2.2<\/span> <span class=\"toctext\">Th\u00e9orie analytique des nombres<\/span><\/a><\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<li class=\"toclevel-1 tocsection-8\"><a href=\"http:\/\/dictionnaire.sensagent.leparisien.fr\/Indicatrice%20d'Euler\/fr-fr\/#Croissance_de_la_fonction\"><span class=\"tocnumber\">3<\/span> <span class=\"toctext\">Croissance de la fonction<\/span><\/a><\/li>\n<li class=\"toclevel-1 tocsection-9\"><a href=\"http:\/\/dictionnaire.sensagent.leparisien.fr\/Indicatrice%20d'Euler\/fr-fr\/#Les_99_premi.C3.A8res_valeurs_de_la_fonction_.CF.86\"><span class=\"tocnumber\">4<\/span> <span class=\"toctext\">Les 99 premi\u00e8res valeurs de la fonction \u03c6<\/span><\/a><\/li>\n<li class=\"toclevel-1 tocsection-10\"><a href=\"http:\/\/dictionnaire.sensagent.leparisien.fr\/Indicatrice%20d'Euler\/fr-fr\/#Autres_formules_impliquant_la_fonction_.CF.86_d.27Euler\"><span class=\"tocnumber\">5<\/span> <span class=\"toctext\">Autres formules impliquant la fonction \u03c6 d&rsquo;Euler<\/span><\/a><\/li>\n<li class=\"toclevel-1 tocsection-11\"><a href=\"http:\/\/dictionnaire.sensagent.leparisien.fr\/Indicatrice%20d'Euler\/fr-fr\/#In.C3.A9galit.C3.A9s\"><span class=\"tocnumber\">6<\/span> <span class=\"toctext\">In\u00e9galit\u00e9s<\/span><\/a><\/li>\n<li class=\"toclevel-1 tocsection-12\"><a href=\"http:\/\/dictionnaire.sensagent.leparisien.fr\/Indicatrice%20d'Euler\/fr-fr\/#Conjectures\"><span class=\"tocnumber\">7<\/span> <span class=\"toctext\">Conjectures<\/span><\/a><\/li>\n<li class=\"toclevel-1 tocsection-13\"><a href=\"http:\/\/dictionnaire.sensagent.leparisien.fr\/Indicatrice%20d'Euler\/fr-fr\/#Voir_aussi\"><span class=\"tocnumber\">8<\/span> <span class=\"toctext\">Voir aussi<\/span><\/a><\/li>\n<\/ul>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<h2>\u00a0 <span id=\"D.C3.A9finition_et_calcul_explicite\" class=\"mw-headline\">D\u00e9finition et calcul explicite<\/span><\/h2>\n<h3>\u00a0 <span id=\"D.C3.A9finition_et_exemple\" class=\"mw-headline\">D\u00e9finition et exemple<\/span><\/h3>\n<ul>\n<li>L&rsquo;<b>indicateur d&rsquo;Euler<\/b> \u03c6 est la fonction de <a title=\"Entier naturel\" href=\"http:\/\/dictionnaire.sensagent.leparisien.fr\/Entier naturel\/fr-fr\/#Notations\">l&rsquo;ensemble \u2115<sup>*<\/sup> des entiers strictement positifs<\/a> dans lui-m\u00eame qui \u00e0 <i>n<\/i> associe le nombre d&rsquo;entiers strictement positifs inf\u00e9rieurs ou \u00e9gaux \u00e0 <i>n<\/i> et <a class=\"mw-redirect\" title=\"Premiers entre eux\" href=\"http:\/\/dictionnaire.sensagent.leparisien.fr\/Premiers entre eux\/fr-fr\/\">premiers avec<\/a> <i>n<\/i>.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Plus formellement\u00a0:<\/p>\n<dl>\n<dd><img decoding=\"async\" class=\"tex\" src=\"http:\/\/bin.sensegates.com\/s\/0\/d\/2\/0d29ca9e0fefc103fbb00c361ce94486.png\" alt=\"\\begin{array}{ccccl}\\varphi&amp;:&amp;\\N^*&amp;\\longrightarrow&amp;\\N^*\\\\&amp;&amp;n&amp;\\longmapsto&amp;\\mathrm{card}(\\{m\\in\\N^*~|~m\\le n~\\text{et}~m\\text{ premier avec }n\\}).\\end{array}\" \/><\/dd>\n<\/dl>\n<p>Par exemple\u00a0:<\/p>\n<ul>\n<li>\u03c6(8) = 4 car parmi les nombres de 1 \u00e0 8, seuls les quatre nombres <a title=\"Un\" href=\"http:\/\/dictionnaire.sensagent.leparisien.fr\/Un\/fr-fr\/\">1<\/a>, <a class=\"mw-redirect\" title=\"Trois\" href=\"http:\/\/dictionnaire.sensagent.leparisien.fr\/Trois\/fr-fr\/\">3<\/a>, <a class=\"mw-redirect\" title=\"Cinq\" href=\"http:\/\/dictionnaire.sensagent.leparisien.fr\/Cinq\/fr-fr\/\">5<\/a> et <a class=\"mw-redirect\" title=\"Sept\" href=\"http:\/\/dictionnaire.sensagent.leparisien.fr\/Sept\/fr-fr\/\">7<\/a> sont premiers avec <a class=\"mw-redirect\" title=\"Huit\" href=\"http:\/\/dictionnaire.sensagent.leparisien.fr\/Huit\/fr-fr\/\">8<\/a>,<\/li>\n<li>\u03c6(1) = 1 car 1 est premier avec lui-m\u00eame (c&rsquo;est le seul entier naturel qui v\u00e9rifie cette propri\u00e9t\u00e9, si bien que, pour tout entier\u00a0<i>n<\/i>\u00a0&gt;\u00a01, on peut remplacer <i>m<\/i>\u00a0\u2264\u00a0<i>n<\/i> par <i>m<\/i>\u00a0&lt;\u00a0<i>n<\/i> dans la d\u00e9finition ci-dessus de \u03c6(<i>n<\/i>)).<\/li>\n<li>\u03c6(2) = 1.<\/li>\n<\/ul>\n<h3>\u00a0 <span id=\"Premi.C3.A8res_propri.C3.A9t.C3.A9s\" class=\"mw-headline\">Premi\u00e8res propri\u00e9t\u00e9s<\/span><\/h3>\n<div class=\"bandeau-section bandeau-niveau-detail loupe\">Articles d\u00e9taill\u00e9s\u00a0: <a title=\"Groupe cyclique\" href=\"http:\/\/dictionnaire.sensagent.leparisien.fr\/Groupe cyclique\/fr-fr\/\">Groupe cyclique<\/a> et <a title=\"Anneau Z\/nZ\" href=\"http:\/\/dictionnaire.sensagent.leparisien.fr\/Anneau Z\/nZ\/fr-fr\/\">Anneau Z\/nZ<\/a>.<\/div>\n<p>Dans ce paragraphe, <i>n<\/i> d\u00e9signe un entier strictement positif.<\/p>\n<ul>\n<li><i>La valeur \u03c6(<\/i>n<i>) est \u00e9gale au nombre de <a title=\"Partie g\u00e9n\u00e9ratrice d'un groupe\" href=\"http:\/\/dictionnaire.sensagent.leparisien.fr\/Partie g\u00e9n\u00e9ratrice d'un groupe\/fr-fr\/\">g\u00e9n\u00e9rateurs<\/a> d&rsquo;un <a title=\"Groupe (math\u00e9matiques)\" href=\"http:\/\/dictionnaire.sensagent.leparisien.fr\/Groupe (math\u00e9matiques)\/fr-fr\/\">groupe<\/a> cyclique d&rsquo;ordre<\/i> n<i>.<\/i><\/li>\n<\/ul>\n<p>Cette propri\u00e9t\u00e9 est d\u00e9montr\u00e9e dans le paragraphe <a title=\"Anneau Z\/nZ\" href=\"http:\/\/dictionnaire.sensagent.leparisien.fr\/Anneau Z\/nZ\/fr-fr\/#Structure_additive\">Structure additive<\/a> de l&rsquo;article <a title=\"Anneau Z\/nZ\" href=\"http:\/\/dictionnaire.sensagent.leparisien.fr\/Anneau Z\/nZ\/fr-fr\/\">Anneau Z\/nZ<\/a>.<\/p>\n<ul>\n<li><i>La valeur \u03c6(<\/i>n<i>) est \u00e9gale \u00e0 l&rsquo;ordre du <a title=\"Groupe des unit\u00e9s\" href=\"http:\/\/dictionnaire.sensagent.leparisien.fr\/Groupe des unit\u00e9s\/fr-fr\/\">groupe des \u00e9l\u00e9ments inversibles<\/a> de l&rsquo;<a title=\"Anneau unitaire\" href=\"http:\/\/dictionnaire.sensagent.leparisien.fr\/Anneau unitaire\/fr-fr\/\">anneau<\/a><\/i> Z<i>\/<\/i>nZ<i>.<\/i><\/li>\n<\/ul>\n<p>Cette propri\u00e9t\u00e9 est d\u00e9montr\u00e9e dans le paragraphe <a title=\"Anneau Z\/nZ\" href=\"http:\/\/dictionnaire.sensagent.leparisien.fr\/Anneau Z\/nZ\/fr-fr\/#Groupe_des_unit.C3.A9s\">Groupe des unit\u00e9s<\/a> de l&rsquo;article <a title=\"Anneau Z\/nZ\" href=\"http:\/\/dictionnaire.sensagent.leparisien.fr\/Anneau Z\/nZ\/fr-fr\/\">Anneau Z\/nZ<\/a>.<\/p>\n<ul>\n<li><i>Si<\/i> u <i>et<\/i> v <i>sont deux entiers strictement positifs et premiers entre eux, alors \u03c6(<\/i>u.v<i>)=\u03c6(<\/i>u<i>).\u03c6(<\/i>v<i>).<\/i><\/li>\n<\/ul>\n<p>Une telle fonction est dite <a title=\"Fonction multiplicative\" href=\"http:\/\/dictionnaire.sensagent.leparisien.fr\/Fonction multiplicative\/fr-fr\/\">multiplicative<\/a>. On peut d\u00e9montrer cette propri\u00e9t\u00e9 \u00e0 partir du <a title=\"Groupe cyclique\" href=\"http:\/\/dictionnaire.sensagent.leparisien.fr\/Groupe cyclique\/fr-fr\/#Th.C3.A9or.C3.A8me_chinois\">th\u00e9or\u00e8me des restes chinois pour les groupes<\/a>, selon lequel le groupe cyclique (<i>Z<\/i>\/(<i>uv<\/i>)<i>Z<\/i>,+) est <a title=\"Isomorphisme\" href=\"http:\/\/dictionnaire.sensagent.leparisien.fr\/Isomorphisme\/fr-fr\/\">isomorphe<\/a> au <a title=\"Produit direct (groupes)\" href=\"http:\/\/dictionnaire.sensagent.leparisien.fr\/Produit direct (groupes)\/fr-fr\/\">produit<\/a> (<i>Z\/uZ<\/i>)\u00d7(<i>Z\/vZ<\/i>). Un couple (<i>x,y<\/i>) de ce groupe produit est g\u00e9n\u00e9rateur si et seulement si <i>x<\/i> est g\u00e9n\u00e9rateur de <i>Z\/uZ<\/i> et <i>y<\/i> est g\u00e9n\u00e9rateur de <i>Z\/vZ<\/i>. Le nombre d&rsquo;\u00e9l\u00e9ments g\u00e9n\u00e9rateurs du groupe produit est donc \u00e9gal \u00e0 \u03c6(<i>u<\/i>).\u03c6(<i>v<\/i>). L&rsquo;isomorphisme montre que cette valeur est \u00e9gale au nombre d&rsquo;\u00e9l\u00e9ments g\u00e9n\u00e9rateurs du groupe <i>Z<\/i>\/(<i>uv<\/i>)<i>Z<\/i>, ce qui d\u00e9montre la formule recherch\u00e9e.<\/p>\n<h3>\u00a0 <span id=\"Calcul\" class=\"mw-headline\">Calcul<\/span><\/h3>\n<p>La valeur de l&rsquo;indicatrice d&rsquo;Euler s&rsquo;obtient par l&rsquo;expression de <i>n<\/i> donn\u00e9e par le <a title=\"Th\u00e9or\u00e8me fondamental de l'arithm\u00e9tique\" href=\"http:\/\/dictionnaire.sensagent.leparisien.fr\/Th\u00e9or\u00e8me fondamental de l'arithm\u00e9tique\/fr-fr\/\">th\u00e9or\u00e8me fondamental de l&rsquo;arithm\u00e9tique<\/a>\u00a0:<\/p>\n<p><center><img decoding=\"async\" class=\"tex\" src=\"http:\/\/bin.sensegates.com\/s\/a\/b\/2\/ab219fabd9ba404326298580277c3cd1.png\" alt=\"\\mathrm{Si}\\quad n=\\prod_{i=1}^q p_i^{k_i}\\quad \\mathrm{alors} \\quad \\varphi (n)=\\prod_{i=1}^q (p_i-1) p_i^{k_i-1} = n \\prod_{i=1}^q {\\left( 1- \\frac{1}{p_i} \\right) } \" \/><\/center>Dans la formule, <i>p<\/i><sub>i<\/sub> d\u00e9signe un <a title=\"Nombre premier\" href=\"http:\/\/dictionnaire.sensagent.leparisien.fr\/Nombre premier\/fr-fr\/\">nombre premier<\/a> et <i>k<\/i><sub>i<\/sub> un entier strictement positif.<\/p>\n<p>En effet, le caract\u00e8re multiplicatif de l&rsquo;indicatrice d&rsquo;Euler et une <a title=\"Raisonnement par r\u00e9currence\" href=\"http:\/\/dictionnaire.sensagent.leparisien.fr\/Raisonnement par r\u00e9currence\/fr-fr\/\">r\u00e9currence<\/a> montrent que\u00a0:<\/p>\n<p><center><img decoding=\"async\" class=\"tex\" src=\"http:\/\/bin.sensegates.com\/s\/e\/c\/d\/ecdc0f12c5a5971a8d82f5ebac2cec2f.png\" alt=\"\\varphi(n) = \\prod_{i=1}^q \\varphi(p_i^{k_i}) \" \/><\/center>Il suffit alors de d\u00e9nombrer le nombre d&rsquo;entiers non premiers avec une puissance d&rsquo;un nombre premier et plus petit que celui-ci pour remarquer que\u00a0:<\/p>\n<p><center><img decoding=\"async\" class=\"tex\" src=\"http:\/\/bin.sensegates.com\/s\/5\/9\/b\/59bf0f4ec96dacc674246b17b3b76b39.png\" alt=\"\\forall i \\in [1, q] \\quad \\varphi(p_i^{k_i})= p_i^{k_i} - p_i^{k_i - 1}=(p_i-1).p_i^{k_i-1}\" \/><\/center>Ce qui permet de conclure la d\u00e9monstration.<\/p>\n<h2>\u00a0 <span id=\"Autres_propri.C3.A9t.C3.A9s\" class=\"mw-headline\">Autres propri\u00e9t\u00e9s<\/span><\/h2>\n<h3>\u00a0 <span id=\"Arithm.C3.A9tique_modulaire\" class=\"mw-headline\">Arithm\u00e9tique modulaire<\/span><\/h3>\n<p>L&rsquo;indicatrice d&rsquo;Euler est une fonction essentielle de l&rsquo;arithm\u00e9tique modulaire, elle est \u00e0 la base de r\u00e9sultats fondamentaux, \u00e0 la fois en math\u00e9matiques pures et appliqu\u00e9es.<\/p>\n<ul>\n<li><i>Un entier<\/i> p <i>&gt; 0 est premier <a title=\"\u00c9quivalence logique\" href=\"http:\/\/dictionnaire.sensagent.leparisien.fr\/\u00c9quivalence logique\/fr-fr\/\">si et seulement si<\/a> \u03c6(<\/i>p<i>) = p &#8211; 1.<\/i><\/li>\n<\/ul>\n<p>Cette propri\u00e9t\u00e9 est une cons\u00e9quence directe du calcul explicite de l&rsquo;indicatrice.<\/p>\n<p>La <a title=\"Cryptologie\" href=\"http:\/\/dictionnaire.sensagent.leparisien.fr\/Cryptologie\/fr-fr\/\">cryptologie<\/a> utilise largement cette fonction. Le code <a title=\"Rivest Shamir Adleman\" href=\"http:\/\/dictionnaire.sensagent.leparisien.fr\/Rivest Shamir Adleman\/fr-fr\/\">RSA<\/a> se fonde sur le <a title=\"Th\u00e9or\u00e8me d'Euler (nombres)\" href=\"http:\/\/dictionnaire.sensagent.leparisien.fr\/Th\u00e9or\u00e8me d'Euler (nombres)\/fr-fr\/\">th\u00e9or\u00e8me d&rsquo;Euler<\/a>, indiquant que si <i>n<\/i> est un entier strictement positif et <i>a<\/i> un <a title=\"Nombres premiers entre eux\" href=\"http:\/\/dictionnaire.sensagent.leparisien.fr\/Nombres premiers entre eux\/fr-fr\/\">entier premier avec<\/a> <i>n<\/i>, alors <i>a<\/i><sup>\u03c6(n)<\/sup> \u2261 1 (<a title=\"Congruence sur les entiers\" href=\"http:\/\/dictionnaire.sensagent.leparisien.fr\/Congruence sur les entiers\/fr-fr\/\">mod<\/a> n).<\/p>\n<p>Une autre branche de la <a title=\"Th\u00e9orie de l'information\" href=\"http:\/\/dictionnaire.sensagent.leparisien.fr\/Th\u00e9orie de l'information\/fr-fr\/\">th\u00e9orie de l&rsquo;information<\/a> utilise l&rsquo;indicatrice\u00a0: la <a title=\"Th\u00e9orie des codes\" href=\"http:\/\/dictionnaire.sensagent.leparisien.fr\/Th\u00e9orie des codes\/fr-fr\/\">th\u00e9orie des codes<\/a>. C&rsquo;est les cas des <a title=\"Code correcteur\" href=\"http:\/\/dictionnaire.sensagent.leparisien.fr\/Code correcteur\/fr-fr\/\">codes correcteurs<\/a>, et particuli\u00e8rement des <a title=\"Code cyclique\" href=\"http:\/\/dictionnaire.sensagent.leparisien.fr\/Code cyclique\/fr-fr\/\">codes cycliques<\/a>. Ce type de code se construit \u00e0 l&rsquo;aide de <a title=\"Polyn\u00f4me cyclotomique\" href=\"http:\/\/dictionnaire.sensagent.leparisien.fr\/Polyn\u00f4me cyclotomique\/fr-fr\/\">polyn\u00f4me cyclotomique<\/a> et le degr\u00e9 du polyn\u00f4me cyclotomique \u03a6<sub>n<\/sub> d&rsquo;indice <i>n<\/i> \u00e0 coefficients dans les entiers est \u00e9gal \u00e0 \u03c6(<i>n<\/i>). Plus pr\u00e9cis\u00e9ment, on dispose des \u00e9galit\u00e9s suivantes\u00a0:<\/p>\n<p><center><img decoding=\"async\" class=\"tex\" src=\"http:\/\/bin.sensegates.com\/s\/5\/c\/8\/5c8445cc5998fa36d0d3b160cf226c5a.png\" alt=\"X^n-1 \\ = \\ \\prod_{d\\mid n} \\Phi_d (X) \\quad \\mathrm{et} \\ \\mathrm{donc} \\quad \\sum_{d\\mid n}\\varphi(d)=n\" \/><\/center>La somme et le produit sont \u00e9tendus \u00e0 tous les diviseurs positifs <i>d<\/i> de <i>n<\/i>.<\/p>\n<p>La <a title=\"Fonction de M\u00f6bius\" href=\"http:\/\/dictionnaire.sensagent.leparisien.fr\/Fonction de M\u00f6bius\/fr-fr\/#Arithm.C3.A9tique_modulaire\">formule d&rsquo;inversion de M\u00f6bius<\/a> permet d&rsquo;<i>inverser<\/i> cette somme\u00a0:<\/p>\n<p><center><img decoding=\"async\" class=\"tex\" src=\"http:\/\/bin.sensegates.com\/s\/b\/b\/f\/bbf25a2bf3e2fdba62a7bb7e34e3804f.png\" alt=\"\\varphi(n)=\\sum_{d\\mid n} d \\mu(n\/d) \" \/><\/center>Ici, \u03bc d\u00e9signe la <a title=\"Fonction de M\u00f6bius\" href=\"http:\/\/dictionnaire.sensagent.leparisien.fr\/Fonction de M\u00f6bius\/fr-fr\/\">fonction de M\u00f6bius<\/a> usuelle d\u00e9finie sur l&rsquo;ensemble des entiers strictement positifs, la d\u00e9monstration est propos\u00e9e dans l&rsquo;article associ\u00e9.<\/p>\n<h3>\u00a0 <span id=\"Th.C3.A9orie_analytique_des_nombres\" class=\"mw-headline\">Th\u00e9orie analytique des nombres<\/span><\/h3>\n<p>Les deux <a class=\"mw-redirect\" title=\"Fonction g\u00e9n\u00e9ratrice\" href=\"http:\/\/dictionnaire.sensagent.leparisien.fr\/Fonction g\u00e9n\u00e9ratrice\/fr-fr\/\">fonctions g\u00e9n\u00e9ratices<\/a> pr\u00e9sent\u00e9es ici sont des cons\u00e9quences directes du fait que\u00a0:<\/p>\n<dl>\n<dd><img decoding=\"async\" class=\"tex\" src=\"http:\/\/bin.sensegates.com\/s\/5\/a\/4\/5a41b584411433c22963fbe608d2fe75.png\" alt=\"\\sum_{d|n} \\varphi(d) = n.\" \/><\/dd>\n<\/dl>\n<p>Une <a title=\"S\u00e9rie de Dirichlet\" href=\"http:\/\/dictionnaire.sensagent.leparisien.fr\/S\u00e9rie de Dirichlet\/fr-fr\/\">s\u00e9rie de Dirichlet<\/a> utilisant <img decoding=\"async\" class=\"tex\" src=\"http:\/\/bin.sensegates.com\/s\/4\/0\/b\/40ba55cd3c58225334c65204b80c6ca3.png\" alt=\"\\varphi(n)\" \/> est<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"tex\" src=\"http:\/\/bin.sensegates.com\/s\/3\/0\/2\/30248491c13e3453432a54fc19ecaa98.png\" alt=\"\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{\\varphi(n)}{n^s}=\\frac{\\zeta(s-1)}{\\zeta(s)}.\" \/><\/p>\n<p>qui est d\u00e9riv\u00e9 depuis\u00a0:<\/p>\n<dl>\n<dd><img decoding=\"async\" class=\"tex\" src=\"http:\/\/bin.sensegates.com\/s\/0\/c\/8\/0c89b9ba6d5c1b8746f0de7e254e1c42.png\" alt=\" \\zeta(s) \\sum_{n=1}^\\infty \\frac{\\varphi(n)}{n^s} = \\sum_{n=1}^\\infty \\left(\\sum_{d|n} \\varphi(d)\\right) \\frac{1}{n^s} = \\sum_{n=1}^\\infty \\frac{n}{n^s} = \\zeta(s-1),\" \/><\/dd>\n<\/dl>\n<p>ou <img decoding=\"async\" class=\"tex\" src=\"http:\/\/bin.sensegates.com\/s\/9\/e\/9\/9e95f880908cb8854abc845173cebc0b.png\" alt=\"\\zeta(s)\" \/> est la <a title=\"Fonction z\u00eata de Riemann\" href=\"http:\/\/dictionnaire.sensagent.leparisien.fr\/Fonction z\u00eata de Riemann\/fr-fr\/\">fonction z\u00eata de Riemann<\/a>.<\/p>\n<p>Une <a title=\"S\u00e9rie de Lambert\" href=\"http:\/\/dictionnaire.sensagent.leparisien.fr\/S\u00e9rie de Lambert\/fr-fr\/\">s\u00e9rie de Lambert<\/a> utilisant <img decoding=\"async\" class=\"tex\" src=\"http:\/\/bin.sensegates.com\/s\/4\/0\/b\/40ba55cd3c58225334c65204b80c6ca3.png\" alt=\"\\varphi(n)\" \/> est<\/p>\n<dl>\n<dd><img decoding=\"async\" class=\"tex\" src=\"http:\/\/bin.sensegates.com\/s\/1\/4\/9\/149c3395579dd08f49da4e7b029c8a46.png\" alt=\"\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{\\varphi(n) q^n}{1-q^n}= \\frac{q}{(1-q)^2}\" \/><\/dd>\n<\/dl>\n<p>qui converge pour |<i>q<\/i>|&lt;1.<\/p>\n<p>d\u00e9riv\u00e9 de\u00a0:<\/p>\n<dl>\n<dd><img decoding=\"async\" class=\"tex\" src=\"http:\/\/bin.sensegates.com\/s\/1\/3\/9\/139ba938cb6185902c44e20bedb7dead.png\" alt=\"\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{\\varphi(n) q^n}{1-q^n} = \\sum_{n=1}^{\\infty} \\varphi(n) \\sum_{r\\ge 1} q^{rn}\" \/><\/dd>\n<\/dl>\n<p>avec<\/p>\n<dl>\n<dd><img decoding=\"async\" class=\"tex\" src=\"http:\/\/bin.sensegates.com\/s\/5\/4\/4\/5440f93dc8ceb23b6a549f0b3e7e6a13.png\" alt=\" \\sum_{k\\ge 1} q^k \\sum_{n|k} \\varphi(n) = \\sum_{k\\ge 1} k q^k = \\frac{q}{(1-q)^2}.\" \/><\/dd>\n<\/dl>\n<h2>\u00a0 <span id=\"Croissance_de_la_fonction\" class=\"mw-headline\">Croissance de la fonction<\/span><\/h2>\n<p>La croissance de <img decoding=\"async\" class=\"tex\" src=\"http:\/\/bin.sensegates.com\/s\/4\/0\/b\/40ba55cd3c58225334c65204b80c6ca3.png\" alt=\"\\varphi(n)\" \/> comme une fonction de <i>n<\/i> est une question int\u00e9ressante. La premi\u00e8re impression que l&rsquo;on a pour les petits <i>n<\/i> est que <img decoding=\"async\" class=\"tex\" src=\"http:\/\/bin.sensegates.com\/s\/4\/0\/b\/40ba55cd3c58225334c65204b80c6ca3.png\" alt=\"\\varphi(n)\" \/> doit \u00eatre notablement plus petit que <i>n<\/i>, ce qui est quelque peu erron\u00e9. Asymptotiquement, nous avons<\/p>\n<dl>\n<dd><img decoding=\"async\" class=\"tex\" src=\"http:\/\/bin.sensegates.com\/s\/6\/5\/7\/6573dc7b6cc47014220637ffaa3f187d.png\" alt=\"n^{1 - \\epsilon} &lt; \\varphi(n) &lt; n\\,\" \/><\/dd>\n<\/dl>\n<p>pour n&rsquo;importe quel <img decoding=\"async\" class=\"tex\" src=\"http:\/\/bin.sensegates.com\/s\/3\/c\/2\/3c2a85da9b2f2df7cc2e6b1ac862922e.png\" alt=\"\\epsilon &gt; 0\\,\" \/> et <img decoding=\"async\" class=\"tex\" src=\"http:\/\/bin.sensegates.com\/s\/2\/3\/8\/2383d60821ff34ed31319c782dd292c5.png\" alt=\"n &gt; N(\\epsilon)\\,\" \/> . En fait, si nous consid\u00e9rons<\/p>\n<dl>\n<dd><img decoding=\"async\" class=\"tex\" src=\"http:\/\/bin.sensegates.com\/s\/f\/1\/8\/f18627021ee30a88f0347c408984a54c.png\" alt=\"\\frac {\\varphi(n)}{n}\\,\" \/><\/dd>\n<\/dl>\n<p>nous pouvons \u00e9crire, \u00e0 partir de la formule pr\u00e9c\u00e9dente, sous forme de produit de facteurs<\/p>\n<dl>\n<dd><img decoding=\"async\" class=\"tex\" src=\"http:\/\/bin.sensegates.com\/s\/0\/1\/7\/0172ca1e725f36b7d800c876c621d00c.png\" alt=\"1 - p^{-1}\\,\" \/><\/dd>\n<\/dl>\n<p>o\u00f9 les <i>p<\/i> sont des nombres premiers divisant <i>n<\/i>. Par cons\u00e9quent les valeurs de <i>n<\/i> correspondantes aux valeurs particuli\u00e8rement petites du rapport sont les <i>n<\/i> qui sont le produit d&rsquo;un segment initial de la suite de tous les nombres premiers. \u00c0 partir du <a title=\"Th\u00e9or\u00e8me des nombres premiers\" href=\"http:\/\/dictionnaire.sensagent.leparisien.fr\/Th\u00e9or\u00e8me des nombres premiers\/fr-fr\/\">th\u00e9or\u00e8me des nombres premiers<\/a> il peut \u00eatre montr\u00e9 qu&rsquo;une constante \u03b5 dans la formule pr\u00e9c\u00e9dente peut par cons\u00e9quent \u00eatre remplac\u00e9e par<\/p>\n<dl>\n<dd><img decoding=\"async\" class=\"tex\" src=\"http:\/\/bin.sensegates.com\/s\/0\/5\/c\/05c9f8344073ea726e28f7f1ebe73551.png\" alt=\"C \\frac{\\log\\log {n}}{{\\log n}}\\,\" \/> .<\/dd>\n<\/dl>\n<h2>\u00a0 <span id=\"Les_99_premi.C3.A8res_valeurs_de_la_fonction_.CF.86\" class=\"mw-headline\">Les 99 premi\u00e8res valeurs de la fonction \u03c6<\/span><\/h2>\n<div class=\"thumb tright\">\n<div class=\"thumbinner\">\n<p><a class=\"image\" href=\"http:\/\/fr.wikipedia.org\/wiki\/Fichier:EulerPhi100.svg\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"thumbimage\" src=\"http:\/\/bin.sensegates.com\/s\/E\/u\/l\/EulerPhi100.svg.png\" alt=\"\" width=\"420\" height=\"281\" \/><\/a><\/p>\n<div class=\"thumbcaption\">\u00a0 Les 100 premi\u00e8res valeurs de la fonction \u03c6<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<table class=\"wikitable\">\n<tbody>\n<tr>\n<th><img decoding=\"async\" class=\"tex\" src=\"http:\/\/bin.sensegates.com\/s\/4\/0\/b\/40ba55cd3c58225334c65204b80c6ca3.png\" alt=\"\\varphi(n)\" \/><\/th>\n<th>+0<\/th>\n<th>+1<\/th>\n<th>+2<\/th>\n<th>+3<\/th>\n<th>+4<\/th>\n<th>+5<\/th>\n<th>+6<\/th>\n<th>+7<\/th>\n<th>+8<\/th>\n<th>+9<\/th>\n<\/tr>\n<tr>\n<th>0+<\/th>\n<td><\/td>\n<td>1<\/td>\n<td>1<\/td>\n<td>2<\/td>\n<td>2<\/td>\n<td>4<\/td>\n<td>2<\/td>\n<td>6<\/td>\n<td>4<\/td>\n<td>6<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<th>10+<\/th>\n<td>4<\/td>\n<td>10<\/td>\n<td>4<\/td>\n<td>12<\/td>\n<td>6<\/td>\n<td>8<\/td>\n<td>8<\/td>\n<td>16<\/td>\n<td>6<\/td>\n<td>18<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<th>20+<\/th>\n<td>8<\/td>\n<td>12<\/td>\n<td>10<\/td>\n<td>22<\/td>\n<td>8<\/td>\n<td>20<\/td>\n<td>12<\/td>\n<td>18<\/td>\n<td>12<\/td>\n<td>28<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<th>30+<\/th>\n<td>8<\/td>\n<td>30<\/td>\n<td>16<\/td>\n<td>20<\/td>\n<td>16<\/td>\n<td>24<\/td>\n<td>12<\/td>\n<td>36<\/td>\n<td>18<\/td>\n<td>24<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<th>40+<\/th>\n<td>16<\/td>\n<td>40<\/td>\n<td>12<\/td>\n<td>42<\/td>\n<td>20<\/td>\n<td>24<\/td>\n<td>22<\/td>\n<td>46<\/td>\n<td>16<\/td>\n<td>42<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<th>50+<\/th>\n<td>20<\/td>\n<td>32<\/td>\n<td>24<\/td>\n<td>52<\/td>\n<td>18<\/td>\n<td>40<\/td>\n<td>24<\/td>\n<td>36<\/td>\n<td>28<\/td>\n<td>58<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<th>60+<\/th>\n<td>16<\/td>\n<td>60<\/td>\n<td>30<\/td>\n<td>36<\/td>\n<td>32<\/td>\n<td>48<\/td>\n<td>20<\/td>\n<td>66<\/td>\n<td>32<\/td>\n<td>44<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<th>70+<\/th>\n<td>24<\/td>\n<td>70<\/td>\n<td>24<\/td>\n<td>72<\/td>\n<td>36<\/td>\n<td>40<\/td>\n<td>36<\/td>\n<td>60<\/td>\n<td>24<\/td>\n<td>78<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<th>80+<\/th>\n<td>32<\/td>\n<td>54<\/td>\n<td>40<\/td>\n<td>82<\/td>\n<td>24<\/td>\n<td>64<\/td>\n<td>42<\/td>\n<td>56<\/td>\n<td>40<\/td>\n<td>88<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<th>90+<\/th>\n<td>24<\/td>\n<td>72<\/td>\n<td>44<\/td>\n<td>60<\/td>\n<td>46<\/td>\n<td>72<\/td>\n<td>32<\/td>\n<td>96<\/td>\n<td>42<\/td>\n<td>60<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>On observe que, except\u00e9 pour <i>n<\/i> = 1 ou 2, <img decoding=\"async\" class=\"tex\" src=\"http:\/\/bin.sensegates.com\/s\/4\/0\/b\/40ba55cd3c58225334c65204b80c6ca3.png\" alt=\"\\varphi(n)\" \/> est pair, propri\u00e9t\u00e9 qui est g\u00e9n\u00e9rale. En effet, en notant <img decoding=\"async\" class=\"tex\" src=\"http:\/\/bin.sensegates.com\/s\/b\/0\/0\/b00eff17252dc9cb7d0ce428d94482c1.png\" alt=\" n=2^k \\prod_{i=1}^q p_i^{k_i} \" \/> avec les <img decoding=\"async\" class=\"tex\" src=\"http:\/\/bin.sensegates.com\/s\/8\/a\/4\/8a4bbd153c74655abb7ca04c0fa901d8.png\" alt=\"p_i\" \/> impairs et <i>q<\/i> \u00e9ventuellement nul (produit vide), on a\u00a0:<\/p>\n<p><center><img decoding=\"async\" class=\"tex\" src=\"http:\/\/bin.sensegates.com\/s\/f\/5\/0\/f50776600c73b55433920dbd4a5e7a2d.png\" alt=\" \\varphi (n)=2^{k - 1} \\prod_{i=1}^q (p_i-1) p_i^{k_i-1} \" \/><\/center>Or si <i>n<\/i> &gt; 2, alors <i>k<\/i> &gt; 1 ou <i>q<\/i> &gt; 0. Dans un cas comme dans l&rsquo;autre, on obtient bien que <img decoding=\"async\" class=\"tex\" src=\"http:\/\/bin.sensegates.com\/s\/4\/0\/b\/40ba55cd3c58225334c65204b80c6ca3.png\" alt=\"\\varphi(n)\" \/> est pair.<\/p>\n<h2>\u00a0 <span id=\"Autres_formules_impliquant_la_fonction_.CF.86_d.27Euler\" class=\"mw-headline\">Autres formules impliquant la fonction \u03c6 d&rsquo;Euler<\/span><\/h2>\n<dl>\n<dd><img decoding=\"async\" class=\"tex\" src=\"http:\/\/bin.sensegates.com\/s\/c\/8\/6\/c8627e90cd3b164364a29700aab84018.png\" alt=\"\\;\\varphi(n^m) = n^{m-1}\\varphi(n)\" \/> pour <img decoding=\"async\" class=\"tex\" src=\"http:\/\/bin.sensegates.com\/s\/8\/b\/0\/8b0975a0bc26073d23252dd4e3d13cda.png\" alt=\"m\\ge 1\" \/><\/dd>\n<\/dl>\n<dl>\n<dd><img decoding=\"async\" class=\"tex\" src=\"http:\/\/bin.sensegates.com\/s\/c\/e\/7\/ce76390f266038ad5fb25df78c5e2fcc.png\" alt=\"\\sum_{d \\mid n} \\frac{\\mu^2(d)}{\\varphi(d)} = \\frac{n}{\\varphi(n)}\" \/><\/dd>\n<\/dl>\n<dl>\n<dd><img decoding=\"async\" class=\"tex\" src=\"http:\/\/bin.sensegates.com\/s\/c\/b\/5\/cb5835dbb1d4eed38150592c9e58df36.png\" alt=\"\\sum_{1\\le k\\le n \\atop (k,n)=1}\\!\\!k = \\frac{1}{2}n\\varphi(n)\" \/> pour <img decoding=\"async\" class=\"tex\" src=\"http:\/\/bin.sensegates.com\/s\/5\/5\/5\/555f4d6c26baef02b0a1c4f60bd76e89.png\" alt=\"\\;n&gt;1\" \/><\/dd>\n<\/dl>\n<dl>\n<dd><img decoding=\"async\" class=\"tex\" src=\"http:\/\/bin.sensegates.com\/s\/a\/5\/8\/a58c5958da6a29c8a3ebab34ed3a4510.png\" alt=\"\\sum_{k=1}^n\\varphi(k) = \\frac{1}{2}\\left(1+ \\sum_{k=1}^n \\mu(k)\\left\\lfloor\\frac{n}{k}\\right\\rfloor^2\\right)\" \/><\/dd>\n<\/dl>\n<dl>\n<dd><img decoding=\"async\" class=\"tex\" src=\"http:\/\/bin.sensegates.com\/s\/6\/0\/1\/601e9f834956a6725e59145f5949c361.png\" alt=\"\\sum_{k=1}^n\\frac{\\varphi(k)}{k} = \\sum_{k=1}^n\\frac{\\mu(k)}{k}\\left\\lfloor\\frac{n}{k}\\right\\rfloor\" \/><\/dd>\n<\/dl>\n<dl>\n<dd><img decoding=\"async\" class=\"tex\" src=\"http:\/\/bin.sensegates.com\/s\/f\/8\/3\/f83b50da0286d155fabc4aa36d7b17fa.png\" alt=\"\\sum_{k=1}^n\\frac{k}{\\varphi(k)} = \\mathcal{O}(n)\" \/><\/dd>\n<\/dl>\n<dl>\n<dd><img decoding=\"async\" class=\"tex\" src=\"http:\/\/bin.sensegates.com\/s\/1\/5\/2\/152d651f257c4b3bfd0fefa9ac50a90f.png\" alt=\"\\sum_{k=1}^n\\frac{1}{\\varphi(k)} = \\mathcal{O}(\\log(n))\" \/><\/dd>\n<\/dl>\n<h2>\u00a0 <span id=\"In.C3.A9galit.C3.A9s\" class=\"mw-headline\">In\u00e9galit\u00e9s<\/span><\/h2>\n<p>Certaines <a title=\"In\u00e9galit\u00e9\" href=\"http:\/\/dictionnaire.sensagent.leparisien.fr\/In\u00e9galit\u00e9\/fr-fr\/\">in\u00e9galit\u00e9s<\/a> impliquant la fonction <img decoding=\"async\" class=\"tex\" src=\"http:\/\/bin.sensegates.com\/s\/4\/0\/b\/40ba55cd3c58225334c65204b80c6ca3.png\" alt=\"\\varphi(n)\" \/> sont\u00a0:<\/p>\n<dl>\n<dd><img decoding=\"async\" class=\"tex\" src=\"http:\/\/bin.sensegates.com\/s\/9\/f\/5\/9f5bc9fda8f2e69987e68a7406b78be5.png\" alt=\" \\varphi(n) &gt; \\frac {n} {e^\\gamma\\; \\log \\log n + \\frac {3} {\\log \\log n}} \" \/> pour n &gt; 2, o\u00f9 <img decoding=\"async\" class=\"tex\" src=\"http:\/\/bin.sensegates.com\/s\/4\/4\/d\/44ddf6e825ef5a1ea521e708af7deb73.png\" alt=\"\\gamma\\,\" \/> est la <a title=\"Constante d'Euler-Mascheroni\" href=\"http:\/\/dictionnaire.sensagent.leparisien.fr\/Constante d'Euler-Mascheroni\/fr-fr\/\">constante d&rsquo;Euler<\/a>,<\/dd>\n<\/dl>\n<dl>\n<dd><img decoding=\"async\" class=\"tex\" src=\"http:\/\/bin.sensegates.com\/s\/c\/5\/f\/c5fd0de7b771b0b824e218650756c4aa.png\" alt=\" \\varphi(n) \\ge \\sqrt{\\frac {n} {2} } \" \/> pour <i>n<\/i> &gt; 0,<\/dd>\n<\/dl>\n<p>et<\/p>\n<dl>\n<dd><img decoding=\"async\" class=\"tex\" src=\"http:\/\/bin.sensegates.com\/s\/a\/2\/d\/a2d03850e09791377d57fb01297ab27a.png\" alt=\" \\varphi(n) \\ge \\sqrt{n} \" \/> pour <i>n<\/i> &gt; 6.<\/dd>\n<\/dl>\n<p>Pour un nombre premier <i>n<\/i>, clairement <img decoding=\"async\" class=\"tex\" src=\"http:\/\/bin.sensegates.com\/s\/8\/5\/2\/8523c64c9be37d994e165948a72c70d0.png\" alt=\"\\varphi(n) = n-1\\,\" \/>. Pour un <a title=\"Nombre compos\u00e9\" href=\"http:\/\/dictionnaire.sensagent.leparisien.fr\/Nombre compos\u00e9\/fr-fr\/\">nombre compos\u00e9<\/a> <i>n<\/i>, nous avons<\/p>\n<dl>\n<dd><img decoding=\"async\" class=\"tex\" src=\"http:\/\/bin.sensegates.com\/s\/e\/f\/3\/ef3401c62063127c1d328119c2f02712.png\" alt=\" \\varphi(n) \\le n-\\sqrt{n} \" \/><\/dd>\n<\/dl>\n<p>Pour tous les <img decoding=\"async\" class=\"tex\" src=\"http:\/\/bin.sensegates.com\/s\/e\/b\/3\/eb380f3b2439960f7727e82712b46659.png\" alt=\"n&gt;1 \" \/>\u00a0:<\/p>\n<dl>\n<dd><img decoding=\"async\" class=\"tex\" src=\"http:\/\/bin.sensegates.com\/s\/5\/a\/1\/5a1c698c21f98f1367f1da31876475c1.png\" alt=\"0&lt;\\frac{\\varphi(n)}{n}&lt;1 \" \/><\/dd>\n<\/dl>\n<p>Pour un grand n al\u00e9atoire, ces bornes ne peuvent pas \u00eatre encore am\u00e9lior\u00e9es, en effet\u00a0:<\/p>\n<dl>\n<dd><img decoding=\"async\" class=\"tex\" src=\"http:\/\/bin.sensegates.com\/s\/9\/0\/5\/905d0c576520f14a336436436c0d1e4f.png\" alt=\"\\liminf \\frac{\\varphi(n)}{n}=0 \\mbox{ et } \\limsup \\frac{\\varphi(n)}{n}=1. \" \/><\/dd>\n<\/dl>\n<p>Une paire d&rsquo;in\u00e9galit\u00e9s combinant la fonction <img decoding=\"async\" class=\"tex\" src=\"http:\/\/bin.sensegates.com\/s\/3\/5\/3\/3538eb9c84efdcbd130c4c953781cfdb.png\" alt=\"\\varphi\" \/> et la <a title=\"Fonction diviseur\" href=\"http:\/\/dictionnaire.sensagent.leparisien.fr\/Fonction diviseur\/fr-fr\/\">fonction diviseur<\/a> <img decoding=\"async\" class=\"tex\" src=\"http:\/\/bin.sensegates.com\/s\/9\/d\/4\/9d43cb8bbcb702e9d5943de477f099e2.png\" alt=\"\\sigma\" \/> sont\u00a0:<\/p>\n<dl>\n<dd><img decoding=\"async\" class=\"tex\" src=\"http:\/\/bin.sensegates.com\/s\/a\/5\/4\/a543306fd0a6b2a6114c49d69637653c.png\" alt=\" \\frac {6 n^2}{\\pi^2} &lt; \\varphi(n) \\sigma(n) &lt; n^2 \\mbox{ pour } n&gt;1. \" \/><\/dd>\n<\/dl>\n<h2>\u00a0 <span id=\"Conjectures\" class=\"mw-headline\">Conjectures<\/span><\/h2>\n<ul>\n<li><img decoding=\"async\" class=\"tex\" src=\"http:\/\/bin.sensegates.com\/s\/7\/b\/8\/7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png\" alt=\"n\" \/> est premier si et seulement si <img decoding=\"async\" class=\"tex\" src=\"http:\/\/bin.sensegates.com\/s\/a\/8\/e\/a8eb3103bf5636fcd99e49b77d3e36ea.png\" alt=\"n \\equiv 1 \\mod \\varphi(n)\" \/> (\u00e9nonc\u00e9e par <a class=\"mw-redirect\" title=\"Derrick Henry Lehmer\" href=\"http:\/\/dictionnaire.sensagent.leparisien.fr\/Derrick Henry Lehmer\/fr-fr\/\">Derrick Henry Lehmer<\/a>)<\/li>\n<li><img decoding=\"async\" class=\"tex\" src=\"http:\/\/bin.sensegates.com\/s\/0\/4\/1\/041f4c86ac17924814672d0f5133adca.png\" alt=\"\\forall{n &gt; 0}, \\exists{m \\neq n}, \\varphi(n)=\\varphi(m)\" \/> (c&rsquo;est la \u00ab\u00a0<a class=\"new\" title=\"Conjecture de Carmichael (page inexistante)\" href=\"http:\/\/fr.wikipedia.org\/w\/index.php?title=Conjecture_de_Carmichael&amp;action=edit&amp;redlink=1\">conjecture de Carmichael<\/a>\u00a0<a class=\"extiw\" title=\"en:Carmichael's totient function conjecture\" href=\"http:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Carmichael%27s_totient_function_conjecture\"><span title=\"\u00c9quivalent de l\u2019article \u00ab conjecture de Carmichael \u00bb dans une autre langue\">(en)<\/span><\/a>\u00a0\u00bb que <a title=\"Robert Daniel Carmichael\" href=\"http:\/\/dictionnaire.sensagent.leparisien.fr\/Robert Daniel Carmichael\/fr-fr\/\">Robert Daniel Carmichael<\/a>, en 1907, a \u00e9nonc\u00e9e et cru d\u00e9montrer, mais qui reste toujours un <a title=\"Probl\u00e8me ouvert\" href=\"http:\/\/dictionnaire.sensagent.leparisien.fr\/Probl\u00e8me ouvert\/fr-fr\/\">probl\u00e8me ouvert<\/a>).<\/li>\n<\/ul>\n<h2>\u00a0 <span id=\"Voir_aussi\" class=\"mw-headline\">Voir aussi<\/span><\/h2>\n<ul>\n<li><a title=\"Anti-indicateur\" href=\"http:\/\/dictionnaire.sensagent.leparisien.fr\/Anti-indicateur\/fr-fr\/\">Anti-indicateur<\/a><\/li>\n<li><a title=\"Antico\u00efndicateur\" href=\"http:\/\/dictionnaire.sensagent.leparisien.fr\/Antico\u00efndicateur\/fr-fr\/\">Antico\u00efndicateur<\/a><\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li>(<abbr class=\"abbr\" title=\"Langue\u00a0: anglais\">en<\/abbr>) Cet article est partiellement ou en totalit\u00e9 issu de l\u2019article de Wikip\u00e9dia en <a title=\"Anglais\" href=\"http:\/\/dictionnaire.sensagent.leparisien.fr\/Anglais\/fr-fr\/\">anglais<\/a> intitul\u00e9 \u00ab\u00a0<span class=\"plainlinks\" lang=\"en\" xml:lang=\"en\"><a class=\"external text\" href=\"http:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Euler%27s_totient_function?oldid=86973066\">Euler&rsquo;s totient function<\/a><\/span>\u00a0\u00bb <small>(voir <span class=\"plainlinks\"><a class=\"external text\" href=\"http:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Euler%27s_totient_function?action=history\">la liste des auteurs<\/a><\/span>)<\/small><\/li>\n<\/ul>\n<ul id=\"bandeau-portail\" class=\"bandeau-portail\">\n<li><span class=\"bandeau-portail-element\"><span class=\"bandeau-portail-icone\"><a title=\"Portail des math\u00e9matiques\" href=\"http:\/\/fr.wikipedia.org\/wiki\/Portail:Math%C3%A9matiques\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/bin.sensegates.com\/s\/R\/a\/c\/Racine_carr%C3%A9e_bleue.svg.png\" alt=\"Portail des math\u00e9matiques\" width=\"24\" height=\"24\" \/><\/a><\/span> <span class=\"bandeau-portail-texte\"><a title=\"Portail:Math\u00e9matiques\" href=\"http:\/\/fr.wikipedia.org\/wiki\/Portail:Math%C3%A9matiques\">Portail des math\u00e9matiques<\/a><\/span><\/span><\/li>\n<li><span class=\"bandeau-portail-element\"><span class=\"bandeau-portail-icone\"><a title=\"Portail de la cryptologie\" href=\"http:\/\/fr.wikipedia.org\/wiki\/Portail:Cryptologie\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/bin.sensegates.com\/s\/C\/r\/y\/Crypto_key.png\" alt=\"Portail de la cryptologie\" width=\"46\" height=\"24\" \/><\/a><\/span> <span class=\"bandeau-portail-texte\"><a title=\"Portail:Cryptologie\" href=\"http:\/\/fr.wikipedia.org\/wiki\/Portail:Cryptologie\">Portail de la cryptologie<\/a><\/span><\/span><\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<div id=\"catlinks\" class=\"catlinks\">\n<div id=\"mw-normal-catlinks\" class=\"mw-normal-catlinks\">\n<p><a title=\"Cat\u00e9gorie:Accueil\" href=\"http:\/\/fr.wikipedia.org\/wiki\/Cat%C3%A9gorie:Accueil\">Cat\u00e9gories<\/a>\u00a0:<\/p>\n<ul>\n<li><a title=\"Cat\u00e9gorie:Arithm\u00e9tique modulaire\" href=\"http:\/\/fr.wikipedia.org\/wiki\/Cat%C3%A9gorie:Arithm%C3%A9tique_modulaire\">Arithm\u00e9tique modulaire<\/a><\/li>\n<li><a title=\"Cat\u00e9gorie:Leonhard Euler\" href=\"http:\/\/fr.wikipedia.org\/wiki\/Cat%C3%A9gorie:Leonhard_Euler\">Leonhard Euler<\/a><\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<\/div>\n<div class=\"wikiFooter\" lang=\"en\">\n<p class=\"copyright\">This entry is from Wikipedia, the leading user-contributed encyclopedia. It may not have been reviewed by professional editors (see <a href=\"http:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Wikipedia:General_disclaimer\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">full disclaimer<\/a>)<\/p>\n<div id=\"wikiDonate\">\n<p><a href=\"http:\/\/wikimediafoundation.org\/wiki\/Fundraising\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">Donate to Wikimedia<\/a><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div class=\"wikicopyr\">\u00a9 Copyright <span class=\"copyrlink curHand\" data-completed=\"1\" data-href=\"\/\/fr.wikipedia.org\/w\/index.php?action=history&amp;title=Indicatrice d'Euler\">auteur(s) de Wikip\u00e9dia<\/span> &#8211; Cet article est sous licence <a href=\"http:\/\/creativecommons.org\/licenses\/by-sa\/3.0\/deed.fr\" rel=\"nofollow\"><span class=\"nowrap\">CC BY-SA 3.0<\/span><\/a><\/div>\n\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>A ceux qui auraient tendance \u00e0 voir une r\u00e9f\u00e9rence \u00e0 autre choses (20 % d&rsquo;arm\u00e9e + 80 % d&rsquo;air, par exemple) : Passez votre chemin ! En math\u00e9matiques, l&rsquo;indicatrice d&rsquo;Euler est une fonction de la th\u00e9orie des nombres. Elle intervient en math\u00e9matiques pures, \u00e0 la fois en th\u00e9orie des groupes, en th\u00e9orie alg\u00e9brique des nombres [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[51],"tags":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.laurentmarot.fr\/wordpress\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/4556"}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.laurentmarot.fr\/wordpress\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.laurentmarot.fr\/wordpress\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.laurentmarot.fr\/wordpress\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.laurentmarot.fr\/wordpress\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=4556"}],"version-history":[{"count":2,"href":"https:\/\/www.laurentmarot.fr\/wordpress\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/4556\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":4558,"href":"https:\/\/www.laurentmarot.fr\/wordpress\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/4556\/revisions\/4558"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.laurentmarot.fr\/wordpress\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=4556"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.laurentmarot.fr\/wordpress\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=4556"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.laurentmarot.fr\/wordpress\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=4556"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}