A ceux qui auraient tendance à voir une référence à autre choses (20 % d’armée + 80 % d’air, par exemple) : Passez votre chemin !
En mathématiques, l’indicatrice d’Euler est une fonction de la théorie des nombres.
Elle intervient en mathématiques pures, à la fois en théorie des groupes, en théorie algébrique des nombres et en théorie analytique des nombres.
En mathématiques appliquées, à travers l’arithmétique modulaire, elle joue un rôle important en théorie de l’information et plus particulièrement en cryptologie.
La fonction indicatrice est aussi appelée fonction phi d’Euler ou simplement la fonction phi, car la lettre φ est communément utilisée pour la désigner.
Elle est nommée en l’honneur du mathématicien suisse Leonhard Euler (1707 – 1783) qui fut le premier à l’étudier.
Définition et calcul explicite
Définition et exemple
Plus formellement :
Par exemple :
- φ(8) = 4 car parmi les nombres de 1 à 8, seuls les quatre nombres 1, 3, 5 et 7 sont premiers avec 8,
- φ(1) = 1 car 1 est premier avec lui-même (c’est le seul entier naturel qui vérifie cette propriété, si bien que, pour tout entier n > 1, on peut remplacer m ≤ n par m < n dans la définition ci-dessus de φ(n)).
- φ(2) = 1.
Premières propriétés
Dans ce paragraphe, n désigne un entier strictement positif.
Cette propriété est démontrée dans le paragraphe Structure additive de l’article Anneau Z/nZ.
Cette propriété est démontrée dans le paragraphe Groupe des unités de l’article Anneau Z/nZ.
- Si u et v sont deux entiers strictement positifs et premiers entre eux, alors φ(u.v)=φ(u).φ(v).
Une telle fonction est dite multiplicative. On peut démontrer cette propriété à partir du théorème des restes chinois pour les groupes, selon lequel le groupe cyclique (Z/(uv)Z,+) est isomorphe au produit (Z/uZ)×(Z/vZ). Un couple (x,y) de ce groupe produit est générateur si et seulement si x est générateur de Z/uZ et y est générateur de Z/vZ. Le nombre d’éléments générateurs du groupe produit est donc égal à φ(u).φ(v). L’isomorphisme montre que cette valeur est égale au nombre d’éléments générateurs du groupe Z/(uv)Z, ce qui démontre la formule recherchée.
Calcul
La valeur de l’indicatrice d’Euler s’obtient par l’expression de n donnée par le théorème fondamental de l’arithmétique :
Dans la formule,
pi désigne un
nombre premier et
ki un entier strictement positif.
En effet, le caractère multiplicatif de l’indicatrice d’Euler et une récurrence montrent que :
Il suffit alors de dénombrer le nombre d’entiers non premiers avec une puissance d’un nombre premier et plus petit que celui-ci pour remarquer que :
![\forall i \in [1, q] \quad \varphi(p_i^{k_i})= p_i^{k_i} - p_i^{k_i - 1}=(p_i-1).p_i^{k_i-1}](http://bin.sensegates.com/s/5/9/b/59bf0f4ec96dacc674246b17b3b76b39.png)
Ce qui permet de conclure la démonstration.
Autres propriétés
Arithmétique modulaire
L’indicatrice d’Euler est une fonction essentielle de l’arithmétique modulaire, elle est à la base de résultats fondamentaux, à la fois en mathématiques pures et appliquées.
Cette propriété est une conséquence directe du calcul explicite de l’indicatrice.
La cryptologie utilise largement cette fonction. Le code RSA se fonde sur le théorème d’Euler, indiquant que si n est un entier strictement positif et a un entier premier avec n, alors aφ(n) ≡ 1 (mod n).
Une autre branche de la théorie de l’information utilise l’indicatrice : la théorie des codes. C’est les cas des codes correcteurs, et particulièrement des codes cycliques. Ce type de code se construit à l’aide de polynôme cyclotomique et le degré du polynôme cyclotomique Φn d’indice n à coefficients dans les entiers est égal à φ(n). Plus précisément, on dispose des égalités suivantes :
La somme et le produit sont étendus à tous les diviseurs positifs
d de
n.
La formule d’inversion de Möbius permet d’inverser cette somme :
Ici, μ désigne la
fonction de Möbius usuelle définie sur l’ensemble des entiers strictement positifs, la démonstration est proposée dans l’article associé.
Théorie analytique des nombres
Les deux fonctions génératices présentées ici sont des conséquences directes du fait que :
Une série de Dirichlet utilisant 
est
qui est dérivé depuis :
ou 
est la fonction zêta de Riemann.
Une série de Lambert utilisant est
qui converge pour |q|<1.
dérivé de :
avec
Croissance de la fonction
La croissance de comme une fonction de n est une question intéressante. La première impression que l’on a pour les petits n est que doit être notablement plus petit que n, ce qui est quelque peu erroné. Asymptotiquement, nous avons
pour n’importe quel 
et 
. En fait, si nous considérons
nous pouvons écrire, à partir de la formule précédente, sous forme de produit de facteurs
où les p sont des nombres premiers divisant n. Par conséquent les valeurs de n correspondantes aux valeurs particulièrement petites du rapport sont les n qui sont le produit d’un segment initial de la suite de tous les nombres premiers. À partir du théorème des nombres premiers il peut être montré qu’une constante ε dans la formule précédente peut par conséquent être remplacée par
.
Les 99 premières valeurs de la fonction φ
Les 100 premières valeurs de la fonction φ
|
+0 |
+1 |
+2 |
+3 |
+4 |
+5 |
+6 |
+7 |
+8 |
+9 |
| 0+ |
|
1 |
1 |
2 |
2 |
4 |
2 |
6 |
4 |
6 |
| 10+ |
4 |
10 |
4 |
12 |
6 |
8 |
8 |
16 |
6 |
18 |
| 20+ |
8 |
12 |
10 |
22 |
8 |
20 |
12 |
18 |
12 |
28 |
| 30+ |
8 |
30 |
16 |
20 |
16 |
24 |
12 |
36 |
18 |
24 |
| 40+ |
16 |
40 |
12 |
42 |
20 |
24 |
22 |
46 |
16 |
42 |
| 50+ |
20 |
32 |
24 |
52 |
18 |
40 |
24 |
36 |
28 |
58 |
| 60+ |
16 |
60 |
30 |
36 |
32 |
48 |
20 |
66 |
32 |
44 |
| 70+ |
24 |
70 |
24 |
72 |
36 |
40 |
36 |
60 |
24 |
78 |
| 80+ |
32 |
54 |
40 |
82 |
24 |
64 |
42 |
56 |
40 |
88 |
| 90+ |
24 |
72 |
44 |
60 |
46 |
72 |
32 |
96 |
42 |
60 |
On observe que, excepté pour n = 1 ou 2, est pair, propriété qui est générale. En effet, en notant 
avec les 
impairs et q éventuellement nul (produit vide), on a :
Or si
n > 2, alors
k > 1 ou
q > 0. Dans un cas comme dans l’autre, on obtient bien que
est pair.
Autres formules impliquant la fonction φ d’Euler
pour 
pour 
Inégalités
Certaines inégalités impliquant la fonction sont :
pour n > 2, où 
est la constante d’Euler,
pour n > 0,
et
pour n > 6.
Pour un nombre premier n, clairement 
. Pour un nombre composé n, nous avons
Pour tous les 
:
Pour un grand n aléatoire, ces bornes ne peuvent pas être encore améliorées, en effet :
Une paire d’inégalités combinant la fonction 
et la fonction diviseur 
sont :
Conjectures
Voir aussi
est premier si et seulement si 
(énoncée par 
(c’est la « 
